Question

【題目】設(shè)函數(shù)，已知不單調(diào)，且其導(dǎo)函數(shù)存在唯一零點(diǎn).

（1）求的取值范圍；

（2）若集合，，求證：.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】

（1）由題意得有唯一零點(diǎn)，且在零點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)相反. ，

.對(duì)a分類討論，分析函數(shù)的單調(diào)性從而得到的取值范圍；

（2）由（1）知，設(shè)，即.則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴的值域?yàn)?/span>，即.

要使，只需

（1）由題意得有唯一零點(diǎn)，且在零點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)相反.

，.

①當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，又時(shí)，，

故在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)相反.

②當(dāng)時(shí)，，得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

若，則存在唯一零點(diǎn)，但在零點(diǎn)兩側(cè)都為負(fù)，不合題意；

若，則恒成立，此時(shí)無零點(diǎn)，不合題意；

若，又時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

綜上所述，的取值范圍是.

（2）由（1）知，設(shè)，即.

則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴的值域?yàn)?/span>，即.

要使，只需，即，

也就是.

又，故，即.

又在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)，

∴要證 只要證，即.

而，故結(jié)論得證.