Question

已知z₁，z₂為復數，（3+i）z₁為實數，z2=

z1

2+i

且|z2|=5

2

，則z₂=

±（5-5i）

．

Answer 1

分析：設出復數z₁，根據復數是一個實數，得到實部和虛部之間的關系，根據z₂的關系，得到復數的表示形式，再根據復數的模長求出結果．

解答：解：設z₁=a+bi，
∵（3+i）z₁為實數，
∴（3+i）（a+bi）=3a-b+（a+3b）i
∴a+3b=0，
∴z₁=a+bi=-3b+bi
∵z2=

z1

2+i

=

-3b+bi

2+i

=

(-3b+bi)(2-i)

(2+i)(2-i)

=

-5b+5bi

5

=-b+bi
∵|z2|=5

2

，
∴

2b2

=5

2

，
∴b=±5，
∴z₂=±（5-5i）
故答案為：±（5-5i）

點評：本題考查復數的求法，考查復數的混合運算和模長的公式，本題解題的關鍵是看出兩個復數之間的關系，本題是一個中檔題目．