Question

設P是橢圓短軸的一個端點，Q為橢圓上一個動點，求|PQ|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：依題意可知|PQ|=，因為Q在橢圓上，所以x²=a²（1-y²），|PQ|²=a²（1-y²）+y²-2y+1=（1-a²）y²-2y+1+a²
=（1-a²）（y-）²-+1+a²．由此分類討論進行求解．
解答：解：由已知得到P（0，1）或P（0，-1）
由于對稱性，不妨取P（0，1）
設Q（x，y）是橢圓上的任一點，
則|PQ|=，①
又因為Q在橢圓上，
所以，x²=a²（1-y²），
|PQ|²=a²（1-y²）+y²-2y+1=（1-a²）y²-2y+1+a²
=（1-a²）（y-）²-+1+a²．②
因為|y|≤1，a＞1，若a≥，則||≤1，
所以如果它包括對稱軸的x的取值，那么就是頂點上取得最大值，
即當-1≤≤1時，
在y=時，|PQ|取最大值；
如果對稱軸不在y的取值范圍內的話，那么根據圖象給出的單調性來求解．
即當＜-1時，則當y=-1時，|PQ|取最大值2．
點評：本題考查橢圓的基本性質及其應用，解題時要認真審題，細心計算．