Question

( 本小題滿分12分)

已知集合中的元素都是正整數(shù)，且，對(duì)任意的且，有．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）對(duì)于，試給出一個(gè)滿足條件的集合。

Answer 1

本小題考察對(duì)數(shù)學(xué)概念的閱讀理解能力，考查不等式、集合知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，考查思維能力、論證能力、運(yùn)算能力和綜合解題的能力．滿分12分．

〖解析〗

(Ⅰ) 證明：依題意有，又，

　　　　      因此．

　　　　      可得．

　　　　      所以．

　　　　      即．                    …………………4分

（Ⅱ）證明：由(Ⅰ)可得．

　　               又，可得，因此．

　　             同理，可知．

　　             又，可得，

　　             所以均成立．

　　             當(dāng)時(shí)，取，則，

　　             可知．

　　             又當(dāng)時(shí)，．

　　             所以．   ……………………………………………………8分

（Ⅲ）解：對(duì)于任意，，

由可知，

，即．

因此，只需對(duì)，成立即可．

因?yàn)?img border=0 width=71 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/384/402884.gif" >；；；，

因此可設(shè)；；；；．

由，可得，取．

由，可得，取．

由，可得，取．

由，可得，取．

所以滿足條件的一個(gè)集合．……………12分