Question

長方形中，，．以的中點為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系．

(1) 求以、為焦點，且過、兩點的橢圓的標準方程；
(2) 過點的直線交(1)中橢圓于兩點，是否存在直線，使得以線段為直徑的圓恰好過坐標原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)；(2) 存在過的直線:，理由見解析．

試題分析：（1）由題意可得點的坐標，設出橢圓的標準方程，根據題意知，求得，進而根據和的關系求得，則橢圓的方程可得；（2）設直線的方程為．與橢圓方程聯立，設兩點坐標分別為．根據韋達定理求得和，進而根據若以為直徑的圓恰好過原點，推斷則，得知，根據求得代入即可求得，最后檢驗看是否符合題意．
(1)由題意可得點的坐標分別為．
設橢圓的標準方程是.
，．
.
橢圓的標準方程是
(2) 由題意直線的斜率存在,可設直線的方程為.
聯立方程,消去整理得．
設兩點的坐標分別為
∴．
若以為直徑的圓恰好過原點,則,所以，
所以,，即．
所以，即
得滿足，
所以直線的方程為,或.
故存在過的直線:使得以弦為直徑的圓恰好過原點．