Question

已知圓A：（x-1）²+y²=4與x軸負半軸交于B點，過B的弦BE與y軸正半軸交于D點，且2

BD

=

DE

，曲線C是以A，B為焦點且過D點的橢圓．
（1）求橢圓的方程；
（2）點P在橢圓C上運動，點Q在圓A上運動，求PQ+PD的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題設知B（-1，0），E（2，

3

），D（0，

3

3

），由此能求出橢圓方程．（2）由PQ+PD≤（PA+2）+PD=（PA+PD）+2，知PA+PD=

4 3

3

-PB+PD≤

4

3

3

+DB=2

3

，由此能得到PQ+PD的最大值．

解答：解：（1）由題設知B（-1，0），E（2，

3

），D（0，

3

3

），∴橢圓方程為

3

4

x2+3y2=1．
（2）∵PQ+PD≤（PA+2）+PD=（PA+PD）+2，
∴PA+PD=

4 3

3

-PB+PD≤

4

3

3

+DB=2

3

，
所以P在DB延長線與橢圓交點處，Q在PA延長線與圓的交點處，得到PQ+PD最大值為2+2

3

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系和綜合運用，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．