Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F₁，F₂，離心率為

2

2

，過點F₁且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為

2

，直線l：y=kx+m與橢圓交于不同的A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若在橢圓C上存在點Q滿足：

OA

+

OB

=λ

OQ

（O為坐標原點）．求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得e=

c

a

=

2

2

，

2b2

a

=

2

，又a²=b²+c²，聯立解得即可．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），分類討論：當λ=0時，利用橢圓的對稱性即可得出；λ≠0時，設直線AB的方程為y=kx+m．與橢圓的方程聯立得到△＞0及根與系數的關系，再利用向量相等，代入計算即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由已知得e=

c

a

=

2

2

，

2b2

a

=

2

，又a²=b²+c²，聯立解得a=

2

，b=1，c=1．
故所求橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）
當λ=0時由

OA

+

OB

=λ

OQ

知，

OA

+

OB

=

0

，A與B關于原點對稱，存在Q滿足題意，∴λ=0成立．
當λ≠0時，設直線AB的方程為y=kx+m．
聯立

y=kx+m x2+2y2=2

得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
由△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0解得m²＜1+2k²…（*）
∴x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

，y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+2k2

．
由

OA

+

OB

=λ

OQ

，得（x₁+x₂，y₁+y₂）=（λx₀，λy₀），可得x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀，
∴

x0= 1 λ (x1+x2)= 1 λ • -4km 1+2k2 y0= 1 λ (y1+y2)= 1 λ • 2m 1+2k2

，
代入到

x2

2

+y2=1得到m2=

λ2

4

(1+2k2)，
代入（*）式

λ2

4

(1+2k2)＜1+2k2，
由1+2k²＞0得λ²＜4，解得-2＜λ＜2且λ≠0．
∴綜上λ∈（-2，2）．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到△＞0及根與系數的關系、向量相等等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．