Question

（2011•焦作一模）漁政船甲、乙同時收到同一片海域上一艘漁船丙的求救信號，此時漁船丙在位于A處的漁政船甲的南偏東40°方向，距漁政船甲70km的C處，漁政船乙在漁政船甲的南偏西20°方向的B處．兩艘漁政船協調后，立即讓漁政船甲沿直線AC航行前去漁船丙所在的位置C處救援，漁政船乙仍留在B處執行任務．漁政船甲航行30km到達D處時，收到新的指令必須執行，于是立即通知在B處執行任務的漁政船乙前去救援漁船丙（漁政船乙沿直線BC航行前去救援漁船丙），此時B，D兩處相距42km，問漁政船乙要航行多少km才能到達漁船丙所在的位置C處實施營救？

Answer 1

分析：根據題意△ABD中，AD=30、BD=42且∠BAD=60°，運用余弦定理算出AB=48km，進而求出cos∠ADB=

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，結合誘導公式求出cos∠BDC=-cos∠ADB=-

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7

．最后在△BCD中，利用余弦定理求出BC之長，即可得到漁政船乙到達漁船丙所在的位置C處實施營救所要航行的路程．

解答：解：根據題意，得
△ABD中，AD=30km，BD=42km且∠BAD=40°+20°=60°
∴由余弦定理，得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos60°
即42²=AB²+30²-30AB，整理得AB²-30AB-864=0，
解之得AB=48km（舍負）
因此，cos∠ADB=

AD2+BD2-AB2

2×AD×BD

=

302+422-482

2×30×42

=

1

7

∴cos∠BDC=-cos∠ADB=-

1

7

△BCD中，BD=42km，CD=70-30=40km
∴BC²=BD²+CD²-2BD•CDcos∠BDC=42²+40²-2×42×40×（-

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）=3844（km²）
因此BC=

3844

=62（km）
答：漁政船乙要航行62km，才能到達漁船丙所在的位置C處實施營救．

點評：本題以海上輪船的營救為例，求漁政船乙到達漁船丙所在的位置C處實施營救所要航行的路程．著重考查了誘導公式和利用余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．