Question

（2012•石家莊一模）若實數X滿足log₃x=sinθ+cosθ，其中θ∈[-

1

2

π，0]，則函數f（x）=|2x-1|+x的值域為（　　）

• A．[

  1

  2

  ，2]
• B．[

  2

  3

  ，8]
• C．[

  2

  3

  ，2]
• D．[

  1

  2

  ，8]

Answer 1

分析：由X滿足log₃x=sinθ+cosθ，所以x=3^sinθ+cosθ=3

2

sin(θ+

π

4

)，又θ∈[-

1

2

π，0]，所以-

π

4

≤θ+

π

4

≤

π

4

，所以

1

3

≤x≤3，又f（x）的表達式可化為f（x）=

3x-1  ，當x∈[ 1 2 ，3]時 -x+1  ，當x∈[ 1 3 ， 1 2 )時

據此可求出函數f（x）=|2x-1|+x的值域．

解答：解：∵log₃x=sinθ+cosθ，∴x=3^sinθ+cosθ=3

2

sin(θ+

π

4

)，
又∵θ∈[-

1

2

π，0]，∴-

π

4

≤θ+

π

4

≤

π

4

，
∴-

2

2

≤sin(θ+

π

4

)≤

2

2

，即-1≤

2

sin(θ+

π

4

)≤1，
∴

1

3

≤x≤3．
因此f（x）的表達式可化為
f（x）=

3x-1  ，當x∈[ 1 2 ，3]時 -x+1  ，當x∈[ 1 3 ， 1 2 )時

①當x∈[

1

3

，

1

2

)時，

1

2

＜-x+1≤

2

3

，即

1

2

＜f(x)≤

2

3

；
②當x∈[

1

2

，3]時，

1

2

≤3x-1≤8，即

1

2

≤f(x)≤8．
因此，函數f（x）=|2x-1|+x的值域是[

1

2

，8]．
故選D．

點評：此題考查了對數式化為指數式、指數函數的單調性、三角函數式的化簡、三角函數的單調性及值域、含有絕對值類型的函數的值域．熟練掌握上述有關知識及方法是解決此問題的關鍵．此題還用到了分類討論的方法去掉絕對值．