Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)均等于1，且∠A₁AB=∠A₁AC=60°，則該斜三棱柱的全面積是________．

Answer 1

1+
分析：利用直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，結(jié)合∠A₁AB=∠A₁AC可證出四邊形BB₁C₁C是矩形，從而得到四邊形BB₁C₁C的面積．再利用平行四邊形面積公式算出平行四邊形AA₁B₁B和平行四邊形AA₁C₁C面積，利用等邊三角形面積公式算出△ABC和△A₁B₁C₁面積，將所得的面積相加即得該斜三棱柱的全面積．
解答：∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠A₁AB=∠A₁AC=60°，
∴A₁A在平面ABC內(nèi)的射影是∠BAC的角平分線
作A₁H⊥平面ABC，延長(zhǎng)AH交BC于D
∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
∴AD⊥BC
∵A₁H⊥BC，AD∩A₁H=H，∴BC⊥平面AA₁H
∵AA₁?平面AA₁H，
∴AA₁⊥BC，結(jié)合AA₁∥BB₁，得BB₁⊥BC
因此，四邊形BB₁C₁C是矩形
∵平行四邊形AA₁B₁B中，∠A₁AB=60°，AA₁=AB=1
∴S_{平行四邊形AA1B1B}=AA₁×ABsin60°=，同理可得S_{平行四邊形AA1C1C}=
∵△ABC和△A₁B₁C₁都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
∴S_△ABC=S_△A1B1C1=
又∵S_矩形BB1C1C=BB₁×BC=1
∴該斜三棱柱的全面積是
S_{平行四邊形AA1B1B}+S_{平行四邊形AA1C1C}+S_矩形BB1C1C+S_△ABC+S_△A1B1C1=1+
故答案為：1+
點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的斜三棱柱，求它的全面積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、平行四邊形面積公式和三角形面積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．