Question

如圖，在四棱錐P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，E是PB上任意一點．

(1)求證：AC⊥DE；

(2)已知二面角A­PB­D的余弦值為，若E為PB的中點，求EC與平面PAB所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析   (2)

【解析】解：(1)證明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，

∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，

又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，

∵DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE.

(2)在△PDB中，EO∥PD，∴EO⊥平面ABCD，分別以O(shè)A，OB，OE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PD＝t，則A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，E，P(0，－，t)，＝(－1，，0)，＝(－1，－，t)．

由(1)知，平面PBD的一個法向量為n₁＝(1,0,0)，設(shè)平面PAB的法向量為n₂＝(x，y，z)，則根據(jù)

得令y＝1，得平面PAB的一個法向量為n₂＝.

∵二面角A­PB­D的余弦值為，

則|cos〈n₁，n₂〉|＝，

即＝，

解得t＝2或t＝－2 (舍去)，

∴P(0，－，2)．

設(shè)EC與平面PAB所成的角為θ，

∵＝(－1,0，－)，n₂＝(，1,1)，

則sin θ＝|cos〈，n₂〉|＝＝，

∴EC與平面PAB所成角的正弦值為.