Question

已知函數(shù)y=f（x）與y=lnx的圖象關于x軸對稱，且函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線y=x對稱
（Ⅰ）求函數(shù)y=[1+f(x-1)]-

1

2

的定義域
（Ⅱ）求函數(shù)y=ln[g（x）+g（1）]的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由對稱變換求出函數(shù)y=f（x）的解析式，代入函數(shù)y=[1+f(x-1)]-

1

2

整理，然后由對數(shù)式的真數(shù)大于0，分母中根式內(nèi)部的代數(shù)式大于0聯(lián)立不等式組求解；
（Ⅱ）利用互為反函數(shù)圖象間的關系得到函數(shù)y=g（x）與y=f（x）互為反函數(shù)，求反函數(shù)得到g（x）的解析式，代入函數(shù)y=ln[g（x）+g（1）]整理，然后求出內(nèi)層函數(shù)的值域，借助于外層函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)y=ln[g（x）+g（1）]的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)y=f（x）與y=lnx的圖象關于x軸對稱，∴f（x）=-lnx．
則函數(shù)y=[1+f(x-1)]-

1

2

=

1

1-ln(x-1)

．
要使該函數(shù)有意義，則需滿足

x-1＞0 1-ln(x-1)＞0

⇒

x＞1 x-1＜e

⇒1＜x＜1+e．
故所求函數(shù)的定義域為：（1，1+e）；
（Ⅱ）∵函數(shù)y=g（x）與f(x)=-lnx=ln

1

e

x 的圖象關于直線y=x對稱，
則函數(shù)y=g（x）是f(x)=ln

1

e

x 的反函數(shù)，∴g(x)=(

1

e

)x，
則函數(shù)y=ln[g(x)+g(1)]=ln[(

1

e

)x+

1

e

]，令u=(

1

e

)x+

1

e

，
則y=lnu，
∵u=(

1

e

)x+

1

e

＞

1

e

，且y=lnu在(

1

e

，+∞)上是增函數(shù)，
∴y＞ln

1

e

=-1，
∴（-1，+∞）為所求的函數(shù)值域．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)的值域，訓練了函數(shù)圖象的對稱變換，考查了對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)的求法，該題求值域的方法是運用符合函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．