Question

(本小題滿分14分)已知圓過點, 且在軸上截得的弦的長為.

(1) 求圓的圓心的軌跡方程；

(2) 若, 求圓的方程.

 

Answer 1

【答案】

(1) ；（2）

 

【解析】本題主要考查了利用圓的性質求解點的軌跡方程及圓的方程的求解，解題的關鍵是熟練 掌握圓的基本性質

（1）設圓C的圓心為C（x，y），圓的半徑 r= x²+(y-a)²，由圓C在x軸上截得的弦MN的長為2a．可得|y|²+a²=r²，整理可求

（2）由∠MAN=45°可得∠MCN=90°，由（1）可知圓C的圓心為（x₀，y₀），則有x₀²=2ay₀（結合y0=1 ，2|MN|=a可求x₀，r，從而可求圓C的方程

解: (1)設圓的圓心為,

依題意圓的半徑     ……………… 2分

∵ 圓在軸上截得的弦的長為.

∴   

故    ………………………… 4分

∴   

∴  圓的圓心的軌跡方程為 ………………… 6分

（2）∵   , 

∴   ……………………… 9分

令圓的圓心為, 則有 () ,……… 10分

又  ∵   …………………… 11分

∴    ……………………… 12分

∴       ……………………… 13分

∴   圓的方程為   …………………14分