Question

【題目】已知函數f（x）=x3的圖象為曲線C，給出以下四個命題： ①若點M在曲線C上，過點M作曲線C的切線可作一條且只能作一條；
②對于曲線C上任意一點P（x1 ， y1）（x1≠0），在曲線C上總可以找到一點Q（x2 ， y2），使x1和x2的等差中項是同一個常數；
③設函數g（x）=|f（x）﹣2sin2x|，則g（x）的最小值是0；
④若f（x+a）≤8f（x）在區間[1，2]上恒成立，則a的最大值是1．
其中真命題的個數是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①若點M在曲線C上，過點M的切線斜率只有一個，所以過點M作曲線C的切線可作一條且只能作一條，故正確； ②函數f（x）=x3是奇函數，圖象關于原點對稱，所以對于曲線C上任意一點P（x1 ， y1）（x1≠0），在曲線C上總可以找到一點Q（x2 ， y2），使x1和x2的等差中項是同一個常數0，故正確；
③設函數g（x）=|f（x）﹣2sin2x|=|x3﹣2sin2x|是偶函數，且g（0）=0，則g（x）的最小值是0；
④f（x+a）≤8f（x）即（x+a）3≤8a3 ， ∴x+a≤2a，∴x≤a
∵f（x+a）≤8f（x）在區間[1，2]上恒成立，
∴a≥2，∴a的最小值是2，故不正確．
故選：C．