Question

（本小題共13分）

    已知橢圓和直線L:=1, 橢圓的離心率，直線L與坐標原點的距離為。

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點，若直線與橢圓相交于C、D兩點，試判斷是否存在值，使以CD為直徑的圓過定點E？若存在求出這個值，若不存在說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）+y²=1.（2）當=時以CD為直徑的圓過定點E.

【解析】解：（1）直線L:=1,∴=.①      ．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

e=.②   ．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

   由①得

，3

     由②3得     ∴所求橢圓的方程是+y²=1. ．．．．．．．．．．5分

(2)聯立得：.

Δ  ．．．．．．．．．．．．7分

設，則有

．．．．．．9分

 ∵，且以CD為圓心的圓點過點E，

 ∴EC⊥ED.                                       ．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

則

∴，解得=＞1,

∴當=時以CD為直徑的圓過定點E.                ．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分