Question

已知數列{a_n}中，，a_n+1-a_n=（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}中的最大項；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先當n=1時，a₂-a₁=＞0，可知a₂＞a₁，當n≥2時，a_n+1-a_n=＜0，可得a_n+1＜a_n．因此當n≥2時，數列{a_n}是遞減數列，因而可知數列{a_n}中最大項為a₂．
（2）當n≥2時，可知a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-1-a_n-2）+（a_n-a_n-1），代入各項的值，根據式子的特征設置ka_n代入各項值，兩式相減即可求出數列{a_n}的通項公式；再檢查當n=1時，通項式是否符合，若不符合，則分情況，若符合，則該數列的通項公式為．
解答：解：（1）當n=1時，a₂-a₁=＞0．
∴a₂＞a₁，當n≥2時，a_n+1-a_n=＜0，
∴a_n+1＜a_n．
故當n≥2時，數列{a_n}是遞減數列．
綜上所述，對一切n∈N^*都有a₂≥a_n．
∴數列{a_n}中最大項為a₂．
（2）由，a_n+1-a_n=（n∈N^*），
當n≥2時，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-1-a_n-2）+（a_n-a_n-1）=，①，②
①-②，得，
∴．
又n=1時，a₁=適合上式，
∴（n∈N^*）．
點評：此題主要考根據數列的公式判斷函數的單調性，以及數列的通項公式的推導方法，是基礎題．