Question

執行下面框圖所描述的算法程序，記輸出的一列數依次為a₁，a₂，…，a_n，n∈N*，n≤2011．（注：框圖中的賦值符號“=”也可以寫成“←”或“：=”）

（1）若輸入，寫出輸出結果；
（2）若輸入λ=2，令，證明b_n是等差數列，并寫出數列a_n的通項公式；
（3）若輸入，令，T=c₁+2c₂+3c₃+…+2011c₂₀₁₁．求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據程序框圖循環結構圖直接可以判斷當λ=時的輸出結果，（2）結合題干條件求證b_n+1-b_n是一個常數，即可求出數列a_n的通項公式，（3）首先證明c_n是等比數列，然后根據等比數列求和公式求出T_n，最后進行大小比較．
解答：解：（1）輸出結果為0，，．（4分）
（注：寫對第一個數給（1分），寫對二個數得（2分）．）
（2）當λ=2時，===-1（常數），
n∈N*，n≤2010．
所以，b_n是首項b₁=-1，公差d=-1的等差數列．（6分）
故b_n=-n，，數列a_n的通項公式為，n∈N*，n≤2011．（9分）
（3）當時，，，（11分）
∴c_n是以為首項，為公比的等比數列．T_n=c₁+2c₂+3c₃++n•c_n=
兩式作差得
即∴（13分）
當n=2011時，（14分）
點評：本題主要考查程序框圖和數列求和的知識點，解答本題的關鍵是看懂程序框圖的運算程序，熟練掌握等差和等比數列的性質，本題把程序框圖和數列的知識點結合在一起進行考查，也是一道不錯的習題．