Question

根據如圖所示的程序框圖，將輸出a，b的值依次分別記為a₁，a₂，…，a_n，…，a₂₀₀₈；b₁，b₂，…，b_n，…，b₂₀₀₈．
（Ⅰ）求數列 { a_n} 的通項公式；
（Ⅱ）寫出b₁，b₂，b₃，b₄，由此猜想{ b_n}的通項公式，并證明你的證明；
（Ⅲ）在 a_k與 a_k+1中插入b_k+1個3得到一個新數列 { c_n }，設數列 { c_n }的前n項和為S_n，問是否存在這樣的正整數m，使數列{ c_n }的前m項的和S_m=2008，如果存在，求出m的值，如果不存在，請說明理由．
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Answer 1

分析：（I）根據框圖可知a_n+1=a_n+1整理得a_n+1-a_n=1，根據等差數列的定義判斷出{a_n}為等差數列，進而根據等差數列的通項公式求得a_n，
（II）根據b₁=0，b₂=2，b₃=8，b₄=26，猜想b_n=3^n-1-1．證明時利用b_n+1=3b_n+2，整理得b_n+1+1=3（b_n+1），判斷出{b_n+1}為等比數列，根據首項和公比求得{b_n}的通項公式．
（III）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在這樣的正整數m，使數列{ c_n }的前m項的和S_m=2008，再利用數列求和，求出S_m，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）a₁=1，a_n+1=a_n+1，∴{ a_n}是公差為1的等差數列．∴a_n=n．
（Ⅱ）b₁=0，b₂=2，b₃=8，b₄=26，
猜想b_n=3^n-1-1．證明如下：b_n+1=3b_n+2，b_n+1+1=3（b_n+1），
∴{ b_n+1}是公比為3的等比數列．∴b_n+1=（b₁+1）3^n-1=3^n-1．則b_n=3^n-1-1．
（Ⅲ）數列{c_n}中，a_k項（含a_k）前的所有項的和是（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1）=

k(k+1)

2

+

3k-3

2

，
估算知，當k=7時，其和是28+

37-3

2

=1120＜2008，當k=8時，其和是36+

38-3

2

=3315＞2008，又因為2008-1120=888=296×3，是3的倍數，
故存在這樣的m，使得S_m=2008，此時m=7+（1+3+3²+…+3⁵）+296=667．

點評：本題主要考查了程序框圖、等差數列和等比數列的通項公式，及數列求和問題．由等差數列和等比數列構成的數列常可用分組求和法．