Question

關(guān)于x的三次函數(shù)y=f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為P、Q，其中P為原點(diǎn)，Q在曲線上，則曲線y=f（x）的切線斜率的最大值的最小值為________．

Answer 1

分析：可以設(shè)f（x）=ax³+bx²+cx+d，根據(jù)已知條件減少未知量，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為求f′（x）最大值的表達(dá)式，可以利用三角代換，求出a，b關(guān)于θ的表達(dá)式，再進(jìn)行代入求得其最小值；
解答：設(shè)f（x）=ax³+bx²+cx+d，依題意可得，f（0）=0且f′（0）=0，
∴c=d=0，故f（x）=ax³+bx²，
∴f′（x）=3ax²+2bx，由y=1+及點(diǎn)Q在上面，
可設(shè)Q（1+cosθ，1+sinθ），θ∈[0，π]，由Q為一個(gè)極值點(diǎn)，
得，
顯然cosθ≠1，θ≠π，
∴1+cosθ=-，
∴，∵a＜0，
∴f′（x）=3ax²+2bx存在最大值：f′（）=f（-）=×
利用數(shù)形結(jié)合可求得：×=×K_OQ，
求出直線OQ斜率的最小值即可：可知Q點(diǎn)在（2，1）處斜率最小：K_OQ=，
∴×K_OQ=，
曲線y=f（x）的切線斜率的最大值的最小值為，
故答案為：；
點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，比較難想到的是利用三角代換求出函數(shù)f′（x）的最大值表達(dá)式，此題計(jì)算量比較大，考查了學(xué)生的計(jì)算能力；