Question

關于x的三次函數y=f（x）的兩個極值點為P、Q，其中P為原點，Q在曲線y=1+

2x-x2

上，則曲線y=f（x）的切線斜率的最大值的最小值為

3

4

．

Answer 1

分析：可以設f（x）=ax³+bx²+cx+d，根據已知條件減少未知量，對其進行求導轉化為求f′（x）最大值的表達式，可以利用三角代換，求出a，b關于θ的表達式，再進行代入求得其最小值；

解答：解：設f（x）=ax³+bx²+cx+d，依題意可得，f（0）=0且f′（0）=0，
∴c=d=0，故f（x）=ax³+bx²，
∴f′（x）=3ax²+2bx，由y=1+

2x-x2

及點Q在上面，
可設Q（1+cosθ，1+sinθ），θ∈[0，π]，由Q為一個極值點，
得

1+sinθ=a(1+cosθ)3+b(1+cosθ)2 0=3a(1+cosθ)2+2b(1+cosθ)

，
顯然cosθ≠1，θ≠π，
∴1+cosθ=-

2b

3a

，
∴

a= -2(1+sinθ) (1+cosθ)3 b= 3(1+sinθ) (1+cosθ)2

，∵a＜0，
∴f′（x）=3ax²+2bx存在最大值：f′（

b

3a

）=f（-

1+cosθ

2

）=

3

2

×

1+sinθ

1+cosθ

利用數形結合可求得：

3

2

×

1+sinθ

1+cosθ

=

3

2

×K_OQ，
求出直線OQ斜率的最小值即可：可知Q點在（2，1）處斜率最小：K_OQ=

1

2

，
∴

3

2

×K_OQ=

3

4

，
曲線y=f（x）的切線斜率的最大值的最小值為

3

4

，
故答案為：

3

4

；

點評：此題考查了利用導數研究函數的最值問題，比較難想到的是利用三角代換求出函數f′（x）的最大值表達式，此題計算量比較大，考查了學生的計算能力；