Question

設函數f（x）=a-

2

2x+1

，
（1）求證：不論a為何實數f（x）總為單調函數，并說明是何種單調函數；
（2）試確定a的值，使f（x）的圖象能關于原點對稱并求此時f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=a-

2

2x+1

，知f（x）的定義域為R，利用定義法能夠證明不論a為何實數f（x）總為單調遞增函數．
（2）由f（x）的圖象關于原點對稱，知f（x）是奇函數，所以a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，解得f（x）=1-

2

2x+1

，由此能求出f（x）的值域．

解答：（1）證明：∵f（x）=a-

2

2x+1

，
∴f（x）的定義域為R，
在R上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，（1+2x1）（1+2x2）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故不論a為何實數f（x）總為單調遞增函數．
（2）解：∵f（x）的圖象關于原點對稱，
∴f（x）是奇函數，∴f（-x）=-f（x），
∴a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，解得a=1．
∴f（x）=1-

2

2x+1

，
∵2^x+1＞1，∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-2＜-

2

2x+1

＜0，
∴-1＜f（x）＜1，
∴f（x）的值域為（-1，1）．

點評：本題考查函數的單調性的證明，考查函數的值域的求法，解題時要認真審題，注意定義法和函數的奇偶性的合理運用．