Question

（2013•朝陽區一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2．四邊形ABCD滿足BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1．點E，F分別為側棱PB，PC上的點，且

PE

PB

=

PF

PC

=λ．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）當λ=

1

2

時，求異面直線BF與CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在實數λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

PE

PB

=

PF

PC

=λ可知，EF∥BC，依題意，可求得EF∥AD，再利用線面平行的判斷定理即可證得結論；
（Ⅱ）可證得PA，AB，AD兩兩垂直，以之為軸建立空間直角坐標系，可求得

BF

與

CD

的坐標，利用向量的數量積即可求得異面直線BF與CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）設F（x₀，y₀，z₀），則

PF

=（x₀，y₀，z₀-2），

PC

=（1，1，-2），由

PF

=λ

PC

，可求得F（λ，λ，2-2λ），再設出平面AFD的一個法向量為n₁=（x₁，y₁，z₁），平面PCD的一個法向量為n₂=（x₂，y₂，z₂），可求得這兩個法向量的坐標，利用n₁•n₂=0，即可求得λ的值．

解答：證明：（Ⅰ）由已知，

PE

PB

=

PF

PC

=λ，
所以EF∥BC．
因為BC∥AD，所以EF∥AD．
而EF?平面PAD，AD?平面PAD，
所以EF∥平面PAD．          …（4分）
（Ⅱ）因為平面ABCD⊥平面PAC，
平面ABCD∩平面PAC=AC，且PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABCD．
所以PA⊥AB，PA⊥AD．
又因為AB⊥AD，
所以PA，AB，AD兩兩垂直．      …（5分）
如圖所示，建立空間直角坐標系，
因為AB=BC=1，PA=AD=2，
所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
當λ=

1

2

時，F為PC中點，
所以F（

1

2

，

1

2

，1），
所以

BF

=（-

1

2

，

1

2

，1），

CD

=（-1，1，0）．
設異面直線BF與CD所成的角為θ，
所以cosθ=|cos＜

BF

，

CD

＞|=

|(- 1 2 ， 1 2 ，1)•(-1，1，0)|

1 4 + 1 4 +1 × 2

=

3

3

，
所以異面直線BF與CD所成角的余弦值為

3

3

．…（9分）
（Ⅲ）設F（x₀，y₀，z₀），則

PF

=（x₀，y₀，z₀-2），

PC

=（1，1，-2）．
由已知

PF

=λ

PC

，所以（x₀，y₀，z₀-2）=λ（1，1，-2），
所以

x0=λ y0=λ z0=2-2λ

，
∴

AF

=（λ，λ，2-2λ）．
設平面AFD的一個法向量為n₁=（x₁，y₁，z₁），因為

AD

=（0，2，0），
所以

n1• AF =0 n1• AD =0

即

λx1+λy1+(2-2λ)z1=0 2y1=0

，
令z₁=λ，得n₁=（2λ-2，0，λ）．
設平面PCD的一個法向量為n₂=（x₂，y₂，z₂），
因為

PD

=（0，2，-2），

CD

=（-1，1，0），
所以

n2• PD =0 n2• CD =0

即

2y2-2z2=0 -x2+y2=0

令x₂=1，則n₂=（1，1，1）．
若平面AFD⊥平面PCD，則n₁•n₂=0，所以（2λ-2）+λ=0，解得λ=

2

3

．
所以當λ=

2

3

時，平面AFD⊥平面PCD．…（14分）

點評：本題考查直線與平面的平行，考查異面直線所成的角，考查面面垂直，突出考查空間直角坐標系在證明與計算中的應用．屬于中檔題．