Question

【題目】對于定義域為的函數，若滿足①；②當，且時，都有；③當，且時， ，則稱為“偏對稱函數”．現給出四個函數：

①； ② ；

③； ④．

則其中是“偏對稱函數”的函數為__________．

Answer 1

【答案】②④

【解析】由當，且時，都有可得或，即條件②等價于函數在上單調遞減，在上單調遞增

對于，顯然滿足①，且易證是偶函數，當時， ，所以在上單調遞增，因為是偶函數，所以在上單調遞減，滿足條件②，由是偶函數可得當，且時， ，故不滿足條件③；

對于，顯然滿足條件①，當時， ，則在上單調遞增，當時， ，由復合函數單調性法則可知在上單調遞減，故滿足條件②，由函數的單調性可知，當時，且時， ，不妨設，則，設，則， 在上單調遞減，所以，即，即，所以，即滿足條件③；

對于，易證是奇函數，由奇函數的性質可得， 在和上的單調性相同，故不滿足②；

對于，顯然滿足條件①，，則，滿足條件②，由的單調性知當時，且時， ，不妨設，則， ，

令，則，當且僅當即時，取等號，所以在上是增函數，所以，即，所以，即，所以，滿足條件③；

故答案為②④