Question

已知二次函數f（x）=x²+bx+c，
（1）若c＜b＜1且f（1）=0，證明-2＜c＜0
（2）在（1）的條件下若f（m）＜0，證明f（m+3）為正數．

Answer 1

分析：（1）利用不等式的性質結合二次函數的圖象證明．
（2）根據二次函數的圖象和對稱軸之間的關系證明．

解答：解：（1）f（1）=1+b+c=0，
∴b+c=-1，∴c＜0
（若不然c≥0，則b＞c≥0，∴b+c≥0與b+c=-1矛盾），
又-1=b+c＜1+c，
∴c＞-2，
∴-2＜c＜0．
（2）∵f（1）=0，
∴1為f（x）=0的一個根，由韋達定理知另一根為c
又f（m）＜0，
∴（m-c）（m-1）＜0，
∴1＜m＜1
∴m+3＞c+3＞-2+3=1，
∵f（x）在（1，+∞）單調遞增，
∴f（m+3）＞f（1）=0．

點評：本題主要考查二次函數的圖象和性質，綜合性較強．要求熟練掌握二次函數的性質．