Question

已知定義在R上的函數f（x）=

-2x-b

2x-a

是奇函數．
（1）求a，b的值；
（2）判斷f（x）在R上的單調性，并用定義證明．
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數是奇函數，建立方程關系解a，b．（2）利用定義法證明函數的單調性．
（3）利用函數的奇偶性將不等式f（t²-2t）+f（-k）＜0轉化為f（t²-2t）＜-f（-k）=f（k），然后利用單調性求k的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=

-2x-b

2x-a

是R上的奇函數，f（0）=0，
即

-1-b

1-a

=0，解得b=-1．
∴f(x)=

-2x+1

2x-a

，
又f（-1）=-f（1），
∴

1-2-1

2-1-a

=-

1-2

2-a

，即

1

1-2a

=

1

2-a

，
∴1-2a=2-a，即a=-1，經檢驗符合題意．
∴a=-1，b=-1．
（2）由（1）可知f(x)=

1-2x

1+2x

，
設x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

1-2x1

1+2x1

-

1-2x2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵y=2^x在R單調遞增，∴2x2＞2x1＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在（-∞，+∞）上為減函數．
（3）∵f（x）在（-∞，+∞）上為減函數，且為奇函數，
∴原不等式f（t²-2t）+f（-k）＜0等價為f（t²-2t）＜-f（-k）=f（k），
∴t²-2t＞k恒成立．
∵y=t²-2t=（t-1）²-1≥-1，
∴k＜-1，
即k的取值范圍是k＜-1．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，利用定義法證明函數的單調性，以及函數單調性和奇偶性的綜合應用，利用函數的奇偶性將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．