Question

港口A北偏東30°方向的B處有一小島，A正東方向的C處有一漁船，該漁船距島B為31海里，現該漁船從C處沿著正西方向航行20海里到D處后出現機械故障最多只能航行12海里，此時測得漁船距離小島B還有21海里，故只能繼續向港口航去，問該漁船最終是否需要港口派船在海上救援？

Answer 1

分析：在△BCD中利用余弦定理，算出cos∠CDB=-

1

7

，結合同角三角函數關系得到sin∠CDB=

4 3

7

，再用差角的正弦公式算出sin∠BAD=

5 3

14

．最后在△ACD中用正弦定理，得到AD=15，說明漁船不能到岸，因此需要港口派船在海上救援．

解答：解：在△BCD中，BC=31，BD=21，CD=20
∴由余弦定理可得，cos∠CDB=

BD2+CD2-BC2

2BD•CD

=-

1

7

∴sin∠CDB=

1-cos2∠CDB

=

4 3

7

由此可得：sin∠BAD=sin（∠CDB-60°）=sin∠CDBcos60°-cos∠CDBsin60°=

5 3

14

在△ACD中，由正弦定理，可得

AD

sin∠BAD

=

BD

sin∠BAD

，
即

AD

5 3 14

=

21

3 2

，解之得AD=15
∴漁船距港口還有15海里，無法到達港口，因此需要港口派船在海上救援．

點評：本題給出實際應用問題，討論漁船是否需要海上救援．著重考查了運用正余弦定理三角形及其實際應用等知識，屬于中檔題．