Question

在長(zhǎng)方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，，點(diǎn)E是棱AB上一點(diǎn)．且．

（1）證明：；
（2）若二面角D₁—EC—D的大小為，求的值．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析;（2）－1．

解析試題分析：（1）根據(jù)題意顯然以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．此時(shí)不妨設(shè)AD =AA₁＝1，AB＝2，則本表示出圖中各點(diǎn)坐標(biāo)，這里主要是要運(yùn)用向量的知識(shí)表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，這樣就可表示出和的坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件：它們的數(shù)量積等于0，問(wèn)題即可得證;（2）運(yùn)用求平面法向量的知識(shí)分別求出：平面DEC的法向量為n₁＝(0，0，1);平面D₁CE的法向量為，利用向量夾角知識(shí)可得： ，可解得±－1．利用E是棱AB上的一點(diǎn)，所以λ＞0，故所求的λ值為－1．
試題解析：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，
DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)AD =AA₁＝1，AB＝2，
則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，
C(0，2，0)，A₁(1，0，1)，B₁(1，2，1)，C₁(0，2，1)，D₁(0，0，1)．
因?yàn)?i>＝λ，所以，于是(－1，0，－1)．
所以．
故D₁EA₁D．                                                          5分
（2）因?yàn)?i>D₁D⊥平面ABCD，所以平面DEC的法向量為n₁＝(0，0，1)．
又，(0，－2，1)．
設(shè)平面D₁CE的法向量為n₂＝(x，y，z)，
則n₂·，n₂·，
所以向量n₂的一個(gè)解為．
因?yàn)槎�面�?i>D₁—EC—D的大小為，則．
解得±－1．
又因E是棱AB上的一點(diǎn)，所以λ＞0，故所求的λ值為－1．               10分
考點(diǎn)：1.向量的數(shù)量積的應(yīng)用;2.平面的法向量;3.空位位置關(guān)系