Question

（本小題滿分16分）
已知等差數列{a_n}的首項為a，公差為b，等比數列{b_n}的首項為b，公比為a，其中a，b都是大于1的正整數，且a₁＜b₁，b₂＜a₃．
（1）求a的值；
（2）若對于任意的n∈N*，總存在m∈N*，使得a_m＋3＝b_n成立，求b的值；
（3）令c_n＝a_n+1＋b_n，問數列{c_n}中是否存在連續三項成等比數列？若存在，求出所有成等比數列的連續三項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知，得a_n＝a＋(n－1)b，b_n＝baⁿ⁻¹．由a₁＜b₁，b₂＜a₃，得a＜b,ab＜a＋2b．
因a，b都為大于1的正整數，故a≥2．又b＞a，故b≥3．
再由ab＜a＋2b，得(a－2)b＜a．由a＜b，故(a－2)b＜b，即(a－3)b＜0．
由b≥3，故a－3＜0，解得a＜3． 于是2≤a＜3，根據a∈N，可得a＝2
（2）a_m＋3＝2＋(m－1)b＋3＝b_n，∴b_n＝(m－1)b＋5＝b·2ⁿ⁻¹∴5＝b·(2ⁿ⁻¹－m＋1)
∴5一定是b的倍數∵b≥3∴b＝5；此時，2ⁿ⁻¹－m＋1＝1，即m＝2ⁿ⁻¹．∴b＝5
（3）設數列{c_n}中，c_n,c_n+1,c_n+2成等比數列，
由c_n＝2＋nb＋b·2ⁿ⁻¹，得2＝c_nc_n+2，
即：(2＋nb＋b＋b·2ⁿ)²＝(2＋nb＋b·2ⁿ⁻¹)·(2＋nb＋2b＋b·2ⁿ⁺¹)．
化簡得b＝2ⁿ＋(n－2)·b·2ⁿ⁻¹．     （※）
當n＝1時，由（※）式得：b＝1，與題意矛盾．
當n＝2時，由（※）式得：b＝4．即c₂、c₃、c₄成等比數列，c_n＝2＋4n＋2ⁿ⁺¹，
∴c₂＝18、c₃＝30、c₄＝50．
當n≥3時，b＝2ⁿ＋(n－2)·b·2ⁿ⁻¹＞(n－2)·b·2ⁿ⁻¹≥4b，這與b≥3矛盾．
綜上所述，當b≠4時，不存在連續三項成等比數列；當b＝4時，數列{c_n}中的第二、三、四項成等比數列，這三項依次是18、30、50．