Question

已知銳角三角形ABC中，sin（A+B）=，sin（A-B）=．
（Ⅰ）求證：tanA=2tanB；
（Ⅱ）設AB=3，求AB邊上的高．

Answer 1

【答案】分析：（1）把角放在銳角三角形中，使一些運算簡單起來，本題主要考查兩角和與差的正弦公式，根據分解后的結構特點，解方程組，做比得到結論．
（2）同角的三角函數之間的關系，換元解方程在直角三角形中，用定義求的結果
解答：（I）證明：∵sin（A+B）=，sin（A-B）=，
∴sinAcosB+cosAsinB=，sinAcosB-cosAsinB=，
∴sinAcosB=，cosAsinB=，
∴tanA=2tanB．
（2）解：∵＜A+B＜π，，∴，
即，將tanA=2tanB代入上式并整理得2tan²B-4tanB-1=0
解得，因為B為銳角，所以，∴tanA=2tanB=2+．
設AB上的高為CD，則AB=AD+DB=，由AB=3得CD=2+
故AB邊上的高為2+．
點評：以銳角三角形為載體，應用同角三角函數之間的關系，應用兩角和與差的正弦公式，求解過程中應用代數方法解題，構造直角三角形用銳角三角函數解決問題，這種問題做起來有一定難度．