【題目】已知
，
，動點
滿足直線
與直線
的斜率之積為
，設點的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）若過點
的直線
與曲線交于
，
兩點，過點
且與直線垂直的直線與
相交于點
，求
的最小值及此時直線的方程.
【答案】（1）
（2）
的最小值為1，此時直線
：
【解析】
（1）用直接法求軌跡方程，即設動點為
，把已知用坐標表示并整理即得．注意取值范圍；
（2）設：
，將其與曲線
的方程聯立，消元并整理得
，
設
，
，則可得
，
，由
求出
，
將直線
方程
與
聯立，得
，求得
，計算，設
.顯然
，構造
，由導數的知識求得其最小值，同時可得直線的方程.
（1）設
，則
，即
整理得
（2）設：，將其與曲線的方程聯立，得
即
設，，則
，
將直線：與聯立，得
∴
∴
設.顯然
構造
在
上恒成立
所以
在
上單調遞增
所以
，當且僅當
，即
時取“=”
即的最小值為1，此時直線：.
（注：1.如果按函數
的性質求最值可以不扣分；2.若直線方程按斜率是否存在討論，則可以根據步驟相應給分.）
全優考典單元檢測卷及歸類總復習系列答案
品學雙優卷系列答案
小學期末沖刺100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于數列
，若從第二項起的每一項均大于該項之前的所有項的和，則稱為
數列.
（1）若的前
項和
，試判斷是否是數列，并說明理由；
（2）設數列
是首項為
、公差為
的等差數列，若該數列是數列，求的取值范圍；
（3）設無窮數列是首項為
、公比為
的等比數列，有窮數列
，
是從中取出部分項按原來的順序所組成的不同數列，其所有項和分別為
，
，求是數列時與所滿足的條件，并證明命題“若
且
，則不是數列”.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，離心率為
，
為橢圓上一動點（異于左右頂點），
面積的最大值為
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）若直線
與橢圓相交于點
兩點，問
軸上是否存在點
，使得
是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，某游樂園的一個摩天輪半徑為10米，輪子的底部在地面上2米處，如果此摩天輪每20分鐘轉一圈，當摩天輪上某人經過
處時開始計時（按逆時針方向轉），
（其中
平行于地面）.
（1）求開始轉動5分鐘時此人相對于地面的高度.
（2）開始轉動
分鐘時，摩天輪上此人經過點
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
過點
且橢圓的短軸長為
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）已知動直線
過右焦點
，且與橢圓分別交于
兩點.試問
軸上是否存在定點
，使得，
恒成立？若存在求出點的坐標；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】政府為了對過熱的房地產市場進行調控決策，統計部門對城市人和農村人進行了買房的心理預期調研，用簡單隨機抽樣的方法抽取110人進行統計，得到如圖列聯表，已知樣本中城市人數與農村人數之比是
；
（Ⅰ）分別求樣本中城市人中的不買房人數和農村人中的糾結人數；
（Ⅱ）請完成列聯表，并用獨立性檢驗的思想方法說明有多少的把握認為不買房心理預期與城鄉有關？
參考公式：
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】棉花的纖維長度是棉花質量的重要指標．在一批棉花中抽測了60根棉花的纖維長度（單位：
），將樣本數據制作成如下的頻率分布直方圖：
下列關于這批棉花質量狀況的分析不正確的是（ ）
A.纖維長度在
的棉花的數量為9根
B.從這60根棉花中隨機選取1根，其纖維長度在
的概率為0.335
C.有超過一半的棉花纖維長度能達到
以上
D.這批棉花的纖維長度的中位數的估計值為
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的右焦點為
，短軸長為2，過定點
的直線
交橢圓于不同的兩點
、
（點在點，
之間）.
（1）求橢圓的方程；
（2）若
，求實數
的取值范圍；
（3）若射線
交橢圓于點
（
為原點），求
面積的最大值.
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