Question

 

（本小題共13分）

已知平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是線段AD的中點．沿BD將△BCD翻折到△，使得平面⊥平面ABD．

（Ⅰ）求證：平面ABD；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

證明：（Ⅰ）平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，

    沿直線BD將△BCD翻折成△

    可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，

即，            

    故．                             ………………2分

    ∵平面⊥平面，平面平面=，平面，

    ∴平面．       ………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABD，且，

如圖，以D為原點，建立空間直角坐標系．………………6分

則，，，．

∵E是線段AD的中點，

∴，．

在平面中，，，

設平面法向量為，

∴ ，即，

令，得，故． ………………8分

設直線與平面所成角為，則

．    ……………9分

∴ 直線與平面所成角的正弦值為．                      ………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量為，

      而平面的法向量為，

∴ ，                                   

      因為二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為． ………………13分

 

【解析】略