Question

（2012•道里區三模）選修4-5：不等式選講
設不等式|2x-1|＜1的解集為M，且a∈M，b∈M．
（Ⅰ） 試比較ab+1與a+b的大小；
（Ⅱ） 設maxA表示數集A中的最大數，且h=max{

2

a

，

a+b

ab

，

2

b

}，求h的范圍．

Answer 1

分析：（1）先解不等式得出其解集M，再利用作差法比較大小即可；
（2）不妨設0＜a≤b＜1，先找出其最大值，進而即可求出其范圍．

解答：解：由不等式|2x-1|＜1化為-1＜2x-1＜1解得0＜x＜1，
∴原不等式的解集M={x|0＜x＜1}，
（Ⅰ）∵a，b∈M，∴0＜a＜1，0＜b＜1．
∴（ab+1）-（a+b）=（1-a）（1-b）＞0，
∴ab+1＞a+b．
（Ⅱ）∵a，b∈M，∴0＜a＜1，0＜b＜1．
不妨設0＜a≤b＜1，則

1

a

≥

1

b

，∴

2

a

≥

2

b

；

a+b

ab

=

a

b

+

b

a

＜

1

b

+

1

a

≤

2

a

．
故

2

a

最大，即h=

2

a

＞2．
∴h∈（2，+∞）．

點評：熟練掌握絕對值不等式的解法、作差法比較數的大小及不等式的基本性質是解題的關鍵．