Question

（2012•道里區三模）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）當PD=

2

AB，且直線AE與平面PBD成角為45°時，確定點E的位置，即求出

PE

EB

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設AC交BD于O，連接OE，由PD⊥平面ABCD，知PD⊥AC，由BD⊥AC，知AC⊥平面PBD，由此能夠證明平面ACE⊥平面PBD．
（Ⅱ）法一：由平面ACE⊥平面PBD，知AO⊥PBD，由直線AE與平面PBD成角為45°，知∠AEO=45°，由此能夠求出

PE

EB

．
法二：以DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能夠求出

PE

EB

的值．

解答：解：（Ⅰ）設AC交BD于O，連接OE，
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
∵BD⊥AC，∴AC⊥平面PBD，
又∵AC⊆平面AEC，∴平面ACE⊥平面PBD．…（6分）
（Ⅱ）（方法一）∵平面ACE⊥平面PBD，平面ACE∩平面PBD=BD
AO⊥BD
∴AO⊥面PBD，
∵直線AE與平面PBD成角為45°，∴∠AEO=45°，
設PD=

2

AB=2，則OE=1，
∴

PE

EB

=1．…（12分）
（方法二）以DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸建立空間直角坐標系，如圖 
平面BDE法向量為

n

=(1，-1，0)，
設PD=

2

AB=2，E(

2

λ，

2

λ，2-2λ)，

PB

=(

2

，

2

，-2)，
令

PE

=λ

PB

，
則

AE

=(

2

λ-

2

，

2

λ，2-2λ)，

| AE • n|

| AE | n ||

=

2

2

，
得λ=

1

2

或λ=1（舍），
∴

PE

BE

=1．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查點的位置的確定．解題時要認真審題，仔細解答，注意空間思維能力的培養．