Question

過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦點F（2，0）作傾斜角為60°的直線，與橢圓交于A、B兩點，若|BF|=2|AF|，則橢圓的離心率為（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  2

  3

• C．

  1

  2

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：由直線方程的點斜式，可得直線AB的方程為y=

3

（x-2），與橢圓的方程消去x，得（a²+

1

3

b²）y²+

4 3

3

b²y+4b²-a²b²=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數的關系結合已知條件得y₁+y₂=-

4 3 b2

3a2+b2

=-y₁，y₁y₂=

12b2-3a2b2

3a2+b2

=-2y₁²，消去y₁得關于a、b的方程，結合a²=b²+4聯解，可得a=3，從而得到該橢圓的離心率．

解答：解：∵直線AB經過F（2，0）且傾斜角為60°，
∴AB的斜率k=tan60°=

3

，得直線AB方程為y=

3

（x-2）
將直線AB方程與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1聯解，消去x得：（a²+

1

3

b²）y²+

4 3

3

b²y+4b²-a²b²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得y₁+y₂=-

4 3 b2

3a2+b2

，y₁y₂=

12b2-3a2b2

3a2+b2

∵|BF|=2|AF|，
∴y₁+y₂=-y₁=

4 3 b2

3a2+b2

，y₁y₂=-2y₁²=

12b2-3a2b2

3a2+b2

消去y₁，得-2（

4 3 b2

3a2+b2

）²=

12b2-3a2b2

3a2+b2

…（1）
又∵橢圓的焦點F（2，0）
∴a²=b²+4，代入（1）式化簡整理，得-96b⁴=-3b⁴（4b²+12），解之得b²=5
由此可得a²=9，a=3，所以橢圓的離心率e=

c

a

=

2

3

故選：B

點評：本題給出橢圓經過右焦點傾角為60度的弦AB被焦點分成1：2的兩部分，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系等知識點，屬于基礎題．