Question

已知函數f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1，x∈R
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）在區間上的最小值與最大值．
（3）將函數y=f（x）的圖象按向量平移，使平移后得到的圖象關于坐標原點成中心對稱，求長度最小的．

Answer 1

解：（1）f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1=2cos²x-2cosxsinx+1=．（2分）
因此，函數f（x）的最小正周期為π．（4分）
（2）因為在區間上是減函數，在區間上是增函數，
又．（8分）
所以，函數f（x）在區間上的最大值為3，最小值為．（10分）
（3）設平移后的圖象的函數解析式為y=g（x），因為g（x）的圖象關于原點成中心對稱，所以，所以，（12分）
為使的模最小，則取k=1，此時=．（14分）
分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數解析式，從而求得函數f（x）的最小正周期．
（2）利用函數f（x）的單調性求出函數f（x）在區間上的最大值和最小值．
（3）設平移后的圖象的函數解析式為y=g（x），根據圖象關于原點成中心對稱，可得，
為使的模最小，取k=1，此時=．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的定義域和值域，周期性和單調性，以及三角函數的圖象的變換，解題的關鍵是對函數解析式的化簡，以及對正弦函數的基礎知識的熟練記憶，屬于中檔題．