Question

棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點M，N分別在線段AB₁，BC₁上，且AM=BN，給出以下結論：其中正確的結論的個數為（　　）
①AA₁⊥MN       
②異面直線AB₁，BC₁所成的角為60°
③四面體B₁-D₁CA的體積為

1

3

④A₁C⊥AB₁，A₁C⊥BC₁．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據正方體的性質和線面平行、性質的性質，可證出AA₁⊥MN，得到①正確；根據異面直線所成角的定義與正方體的性質可得異面直線AB₁，BC₁所成的角為60°，得到②正確；根據正方體、錐體的體積公式加以計算，可得
四面體B₁-D₁CA的體積為

1

3

，得到③正確；利用線面垂直的判定與性質，結合正方體的性質可證出A₁C⊥AB₁且A₁C⊥BC₁，得到④正確．即可得到本題答案．

解答：解：對于①，分別作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分別為E、F，連結EF
由AM=BN利用正方體的性質，可得四邊形MNEF為平行四邊形
∴MN∥EF，可得MN∥平面ABCD
∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥MN，因此可得①正確；
對于②，連結B₁D₁、AD₁，可得∠B₁AD₁就是異面直線AB₁，BC₁所成的角
∵△B₁AD₁是等邊三角形，∴∠B₁AD₁=60°
因此異面直線AB₁，BC₁所成的角為60°，得到②正確；
對于③，四面體B₁-D₁CA的體積為
V=VABCD-A1B 1C1D1-4VB1-ABC=1-4×

1

6

=

1

3

，得到③正確；
對于④，根據A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，得到A₁B₁⊥BC₁，
由正方形BB₁C₁C中證出B₁C⊥BC₁，所以BC₁⊥平面A₁B₁C，
結合A₁C?平面A₁B₁C，得A₁C⊥BC₁，同理可證出A₁C⊥AB₁，從而得到④正確
綜上所述，四個命題都是真命題
故選：D

點評：本題給出正方體中的幾個結論，判斷其正確與否，著重考查了正方體的性質、線面垂直與平行的判定與性質、異面直線所成角的定義與求法和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．