Question

（2013•淄博一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

3

=1(a＞

10

)的右焦點F在圓D：（x-2）²+y²=1上，直線l：x=my+3（m≠0）交橢圓于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若

OM

⊥

ON

（O為坐標原點），求m的值；
（Ⅲ）若點P的坐標是（4，0），試問△PMN的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）已知及圓與x軸的交點即可得到橢圓的焦點，進而得到橢圓的標準方程．
（II）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．把直線方程與橢圓的方程聯立得到關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系及

OM

⊥

ON

?

OM

•

ON

=0即可證明；
（III）利用三角形的面積計算公式、根與系數的關系、基本不等式的性質即可得出．

解答：解：（I）由圓D：（x-2）²+y²=1上可得：圓心（2，0），半徑r=1．
令y=0得（x-2）²=1，解得x=3或1．
∴橢圓的半焦距c=3或1，但是當c=1時，a=

3+1

＜

10

，故舍去．
∴c=3，a²=b²+c²=3+3²=12．
故橢圓的方程為

x2

12

+

y2

3

=1．
（II）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯立

x=my+3 x2+4y2=12

化為（m²+4）y²+6my-3=0，
∴y1+y2=-

6m

m2+4

，y1y2=

-3

m2+4

．
∴x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=

-3m2

m2+4

+

-18m2

m2+4

+9=

36-12m2

m2+4

．
∵

OM

⊥

ON

，∴

OM

•

ON

=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴

36-12m2-3

m2+4

=0，
∴m2=

11

4

，解得m=±

11

2

為定值．
（III）∵直線l過橢圓的右焦點F（3，0），
∴S_△PMN=

1

2

|FP|•|y1-y2|．
∵|FP|=4-3=1．
利用（II）可得S_△PMN=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

36m2 (m2+4)2 + 12(m2+4) (m2+4)2

=2

3

m2+1 (m2+4)2

=2

3

1 (m2+1)+ 9 m2+1 +6

≤2

3

×

1 12

=1．
當且僅當m²+1=3，即m=±

2

時等號成立．故△PMN的面積存在最大值1．

點評：本題綜合考查了：橢圓與圓的標準方程及其性質，把直線方程與橢圓的方程聯立得到關于y的一元二次方程得到根與系數的關系，

OM

⊥

ON

?

OM

•

ON

=0，三角形的面積計算公式，基本不等式的性質等．需要較強的推理能力和計算能力．