Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足f（-1）=0，且對任意的x∈R，總有f（x）-x≥0，并且當(dāng)x∈（0，2）時f(x)≤(

x+1

2

)2，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：由題意可得當(dāng)x=1時，有1≤f（1）≤1，即f（1）=1，結(jié)合f（-1）=0可得

a-b+c=0 a+b+c=1

，進而可得a+c=b=

1

2

，又由二次函數(shù)的恒成立可得

a＞0 △=(b-1)2-4ac≤0

，可得

a＞0 ac≥ 1 16

，再由基本不等式可得當(dāng)且只有當(dāng)a=c=

1

4

時，滿足題意，進而可得解析式．

解答：解：∵對任意的x∈R，總有f（x）-x≥0，并且當(dāng)x∈（0，2）時f(x)≤(

x+1

2

)2，
∴當(dāng)x=1時，有1≤f（1）≤1，即f（1）=1，結(jié)合f（-1）=0可得

a-b+c=0 a+b+c=1

，
解得a+c=b=

1

2

，又∵對于一切實數(shù)x，f（x）-x≥0恒成立，
∴ax²+（b-1）x+c≥0（a≠0），對于一切實數(shù)x恒成立，
∴

a＞0 △=(b-1)2-4ac≤0

，即

a＞0 ac≥ 1 16

，
∵a+c=

1

2

，且a+c≥2

ac

=

1

2

，
∴當(dāng)且只有當(dāng)a=c=

1

4

時，不等式成立，
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

點評：本題考查函數(shù)解析式的求解，涉及基本不等式和恒成立問題，屬中檔題．