Question

    已知函數

    （1）若有兩個不同的極值點，求a的取值范圍；

    （2）當時，表示函數上的最大值，求的表達式；

    （3）求證：。

Answer 1

【考點分析】本小題主要考查導數的運算法則，利用導數研究函數的單調性、極值、不等式的證明等基礎知識，考查運算能力以及分類討論的數學思想方法.

解：（1）（法一）

設，，當時

若，由，易知在時恒成立，無極值點.

若，設的兩根為且。

,,故有

		0	-	0	+

∴當時，函數有兩個極值點。…………4分

（法二）………1分

設，有兩個極值點有兩個大于的不等實根，

∴當時，函數有兩個極值點。…………4分

（2）當時，由（1）知，

在為減函數，在為增函數，

在上的的最大值為或

 ，設，

，，故，

.

（3）由（2）知在上有最大值，且僅在時取得.取，，則

即

法一：，，…，，.

相加得：

，

 ，

即：

法二：用數學歸納法證明：

當時，易知成立，

假設當時，不等式成立，即成立

時，

=

=

<

  （由歸納假設及，）

∴當不等式也成立，故得證。