Question

在平面直角坐標系xOy中,有一個以F₁(0,-)和F₂(0, )為焦點、離心率為的橢圓.設橢圓在第一象限的部分為曲線C,動點P在C上,C在點P處的切線與x、y軸的交點分別為A、B,且向量=+.求:

(1)點M的軌跡方程;

(2)||的最小值.

Answer 1

解:(1)橢圓方程可寫為=1,?

式中a＞b＞0,且

得a²=4,b²=1,所以曲線C的方程為x²+=1(x＞0,y＞0).?

y=2(0＜x＜1),

y′=-

設P(x₀,y₀),因P在C上,有0＜x₀＜1,y₀=2,y′|_x=x₀=-,得切線AB的方程為y=-(x-x₀)+y₀.?

設A(x,0)和B(0,y),由切線方程得x=,y=?

由=+得M的坐標為(x,y),由x₀、y₀滿足C的方程,得點M的軌跡方程為=1(x＞1,y＞2).?

(2)∵||²=x²+y²,

y²==4+,

∴||²=x²-1++5≥4+5=9且當x²-1=,即x=＞1時,上式取等號.?

故||的最小值為3.