Question

如圖，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是拋物線C：y²=2px（p＞0）上相異兩點，且，直線QP與x軸相交于E．
（Ⅰ）若Q、P到x軸的距離的積為4，求該拋物線方程及△OPQ的面積的最小值．
（Ⅱ）在x軸上是否存在一點F，使直線PF與拋物線的另一交點為R（與點Q不重合），而直線RQ與x軸相交于T，且有，若存在，求出F點的坐標（用p表示），若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，則x₁x₂+y₁y₂=0，
又P、Q在拋物線上，故y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，故得，
y₁y₂=-4p²?|y₁y₂|=4p²，又|y₁y₂|=4，故得4p²=4，p=1．∴y²=2x，…（4分）
設E（a，0）（a≠0），直線PQ方程為x=my+a，聯立方程，
消去x得y²-2pmy-2pa=0；∴y₁y₂=-2pa=-4p²，∴a=2p=2，∴，∴面積最小值為4．…（6分）
（Ⅱ）設E（a，0），直線PQ方程為x=my+a，聯立方程組，
消去x得y²-2pmy-2pa=0；∴y₁y₂=-2pa①
設F（b，0），R（x₃，y₃），同理可知，y₁y₃=-2pb②
由①、②可得③
若，設T（c，0），則有（x₃-c，y₃-0）=3（x₂-c，y₂-0），∴y₃=3y₂即④
將④代入③，得b=3a．又由（Ⅰ）知，，y₁y₂=-4p²，代入①，
可得-2pa=-4p²，a=2p．故b=6p．
故知，在x軸上，存在異于E的一點F（6p，0），使得．…（12分）
分析：（Ⅰ）由，知x₁x₂+y₁y₂=0，由P、Q在拋物線上，得，y₁y₂=-4p²?|y₁y₂|=4p²，又|y₁y₂|=4，故得y²=2x，設E（a，0）（a≠0），直線PQ方程為x=my+a，聯立方程，得y²-2pmy-2pa=0．由此能導出該拋物線方程及△OPQ的面積的最小值．
（Ⅱ）設E（a，0），直線PQ方程為x=my+a，聯立方程組，得y²-2pmy-2pa=0，由此能導出在x軸上，存在異于E的一點F（6p，0），使得．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．