Question

甲乙兩個籃球運(yùn)動員相互沒有影響的站在罰球線上投球，其中甲的命中率為

1

2

，乙的命中率為

2

3

，現(xiàn)在每人都投球三次，且各次投球的結(jié)果互不影響，求
（Ⅰ）甲恰好投進(jìn)兩球的概率；
（Ⅱ）乙至少投進(jìn)一球的概率；
（Ⅲ）甲比乙多投進(jìn)兩球的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式，代入數(shù)據(jù)求出結(jié)果．
（2）乙至少投進(jìn)一球包含乙投進(jìn)一球，乙投進(jìn)兩球，乙投進(jìn)三球，三種情況，因此問題從對立事件來考慮比較好，對立事件是乙一個球也投不進(jìn)．
（3）甲比乙多投進(jìn)兩球包括恰好甲投進(jìn)兩球乙投進(jìn)零球或甲投進(jìn)三球乙投進(jìn)一球，這兩種情況是互斥的，由互斥事件概率加法公式，
得到結(jié)果．

解答：解：（I）記甲恰好投進(jìn)兩球?yàn)槭录嗀，
根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式，
∴P(A)=

C

2 3

(

1

2

)2

1

2

=

3

8

；
（II）記乙至少投進(jìn)一球?yàn)槭录﨎，
則由對立事件概率公式得P（B）=1-(

1

3

)3=

26

27

；
（III）甲比乙多投進(jìn)兩球包含恰好甲投進(jìn)兩球乙投進(jìn)零球?yàn)槭录﨏₁，
恰好甲投進(jìn)三球乙投進(jìn)一球?yàn)槭录﨏₂，
根據(jù)題意，C₁、C₂互斥，有互斥事件概率加法公式，
則P(C1+C2)=P(C1)+P(C2)=

C

2 3

(

1

2

)2•

1

2

•(

1

3

)3+(

1

2

)3•

C

1 3

2

3

•(

1

3

)2=

1

24

．

點(diǎn)評：離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布：在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個隨機(jī)變量．