Question

20．如圖，等腰直角△ABC中，AB=AC=1，在邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，沿線段DE折疊，頂點(diǎn)A恰好落在邊BC上，則AD長(zhǎng)度的最小值為$\sqrt{2}$-1．．

Answer 1

分析 如圖，連接AA′，設(shè)∠BDA′=θ∈$（0，\frac{3π}{4}）$．可設(shè)AD=DP=x，AB=1，則BD=1-x．在△BDA′中，由正弦定理有：$\frac{BD}{sin∠B{A}^{′}D}$=$\frac{1-x}{sin（\frac{3π}{4}-θ）}$=$\frac{x}{sinB}$=$\sqrt{2}$x．可得：x=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（\frac{3π}{4}-θ）+1}$．即可得出．

解答 解：如圖，連接AA′，設(shè)∠BDA′=θ∈$（0，\frac{3π}{4}）$．
由AD=DA′，
可設(shè)AD=DP=x，AB=1，則BD=1-x
在△BDA′中，由正弦定理有：$\frac{BD}{sin∠B{A}^{′}D}$=$\frac{1-x}{sin（\frac{3π}{4}-θ）}$=
$\frac{x}{sinB}$=$\frac{x}{sin\frac{π}{4}}$=$\sqrt{2}$x．
可得：x=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（\frac{3π}{4}-θ）+1}$．
∴當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，x取得最小值，x=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1．
故答案為：$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．