如圖，已知橢圓
：
的離心率為
，以橢圓的左頂點
為圓心作圓：
，設圓與橢圓交于點
與點
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求
的最小值，并求此時圓的方程；
（3）設點
是橢圓上異于,的任意一點，且直線
分別與
軸交于點
，
為坐標原點，
求證：
為定值．
（1）
；（2）
，
；（3）證明過程詳見解析.
解析試題分析：（1）先通過離心率求出
，再通過
，然后寫出橢圓方程；（2）先設出
點的坐標，由于點在橢圓上，所以
，找到
向量坐標，根據點乘列出表達式，配方法找到表達式的最小值，得到點坐標，點在圓上，代入得到圓的半徑，就可以得到圓的方程；（3）設出點的坐標，列出直線
的方程，因為直線與軸有交點，所以令
，得到
，所以
，又因為點
在橢圓上，得到方程，代入中，得到
，所以
.
試題解析：（1）依題意，得
，
，∴
；
故橢圓的方程為 ． 3分
（2）方法一：點與點關于軸對稱，設
，
， 不妨設
．
由于點在橢圓上，所以． （*） 4分
由已知
，則
，
，
所以
． 6分
由于
，故當
時，取得最小值為．
由（*）式，
，故
，又點在圓上，代入圓的方程得到
．
故圓的方程為：． 8分
方法二：點與點關于軸對稱，故設
，
不妨設
，由已知，則
． 6分
故當
時，取得最小值為，此時，
又點在圓上，代入圓的方程得到．
故圓的方程為：． 8分
(3) 方法一：設
，則直線的方程為：
53隨堂測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓：
（
）上任意一點到兩焦點距離之和為
，離心率為
，左、右焦點分別為
，
，點
是右準線上任意一點，過作直 線
的垂線
交橢圓于
點．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）證明：直線
與直線
的斜率之積是定值；
（3）點的縱坐標為3，過作動直線
與橢圓交于兩個不同點
，在線段
上取點
，滿足
，試證明點恒在一定直線上．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C: 
(a>b>0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓
上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線過點M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點.試探討k為何值時,三角形OAB為直角三角形.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓
的左右頂點分別為
，離心率
．過該橢圓上任一點
作
軸，垂足為
，點
在
的延長線上，且
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點的軌跡
的方程；
（3）設直線
（點不同于
）與直線
交于點
，
為線段
的中點，試判斷直線
與曲線的位置關系，并證明你的結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知圓C：
的半徑等于橢圓E：
（a＞b＞0）的短半軸長，橢圓E的右焦點F在圓C內，且到直線l：y＝x－
的距離為
－
，點M是直線l與圓C的公共點，設直線l交橢圓E于不同的兩點A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求證：｜AF｜－｜BF｜＝｜BM｜－｜AM｜．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
、
是橢圓
的左、右焦點，且離心率
，點
為橢圓上的一個動點，
的內切圓面積的最大值為
.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 若
是橢圓上不重合的四個點，滿足向量
與
共線，
與
共
線，且
，求
的取值范圍.
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：
與
正半軸、
正半軸的交點分別為
，動點
是橢圓上任一點，求
面積的最大值。
．
在
處取得極值，求
的值；
且
，函數
，若對于
，總存在
使得
，求實數
的取值范圍．
與定點
的距離和它到直線
的距離之比是常數
,記點
的軌跡為曲線
.
與曲線
兩點，
為坐標原點，求
面積的最大值．