Question

一次擲硬幣游戲，共有六位學生參加．游戲規(guī)定每位學生都將一枚均勻的硬幣連拋兩次，并記錄結果．若兩次中至少有一次正面向上，則稱該同學拋擲成功，否則稱拋擲失敗．求：
（I）六名學生中的某學生甲拋擲成功的概率；
（II）拋擲成功的人數(shù)不少于失敗的人數(shù)的概率；
（III）拋擲成功的人數(shù)ξ的數(shù)學期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中游戲規(guī)定每位學生都將一枚均勻的硬幣連拋兩次，并記錄結果．若兩次中至少有一次正面向上，則稱該同學拋擲成功，否則稱拋擲失敗．我們列出所有情況的基本事件個數(shù)，及滿足條件甲拋擲成功的基本事件個數(shù)，然后代入古典概型公式，即可得到答案．
（II）拋擲成功的人數(shù)不少于失敗的人數(shù)是拋擲成功的人數(shù)少于失敗的人數(shù)，計算出拋擲成功的人數(shù)少于失敗的人數(shù)的概率，然后利用對立事件概率減法公式，即可求出拋擲成功的人數(shù)不少于失敗的人數(shù)的概率；
（III）每名學生拋擲成功的概率均相等，且每名學生拋擲成功的概率均為，代入數(shù)學期望公式，即可得到答案．
解答：解：（1）每位學生都將一枚均勻的硬幣連拋兩次，
結果共有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4種，
其中該同學拋擲成功的情況有（正，正），（正，反），（反，正）三種
∴學生甲拋擲成功的概率（4分）
（II）拋擲成功的人數(shù)不少于失敗的人數(shù)是拋擲成功的人數(shù)少于失敗的人數(shù)共包括如下幾種情況：
六名學生都失敗，概率為
五名學生失敗，一名學生成功，概率為
四名學生失敗，二名學生成功，概率為
故拋擲成功的人數(shù)不少于失敗的人數(shù)的概率
=（8分）
（III）∵每名學生拋擲成功的概率均相等
且每名學生拋擲成功的概率均為
∴（12分）
點評：本題考查的知識點是n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率，相互獨立事件的概率乘法公式及離散型隨機變量的期望，其中熟練掌握n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率公式是解答本題的關鍵．