Question

一次擲硬幣游戲，共有六位學(xué)生參加．游戲規(guī)定每位學(xué)生都將一枚均勻的硬幣連拋兩次，并記錄結(jié)果．若兩次中至少有一次正面向上，則稱該同學(xué)拋擲成功，否則稱拋擲失敗．求：
（I）六名學(xué)生中的某學(xué)生甲拋擲成功的概率；
（II）拋擲成功的人數(shù)不少于失敗的人數(shù)的概率；
（III）拋擲成功的人數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）由已知中游戲規(guī)定每位學(xué)生都將一枚均勻的硬幣連拋兩次，并記錄結(jié)果．若兩次中至少有一次正面向上，則稱該同學(xué)拋擲成功，否則稱拋擲失敗．我們列出所有情況的基本事件個(gè)數(shù)，及滿足條件甲拋擲成功的基本事件個(gè)數(shù)，然后代入古典概型公式，即可得到答案．
（II）拋擲成功的人數(shù)不少于失敗的人數(shù)是拋擲成功的人數(shù)少于失敗的人數(shù)，計(jì)算出拋擲成功的人數(shù)少于失敗的人數(shù)的概率，然后利用對(duì)立事件概率減法公式，即可求出拋擲成功的人數(shù)不少于失敗的人數(shù)的概率；
（III）每名學(xué)生拋擲成功的概率均相等，且每名學(xué)生拋擲成功的概率均為

3

4

，代入數(shù)學(xué)期望公式，即可得到答案．

解答：解：（1）每位學(xué)生都將一枚均勻的硬幣連拋兩次，
結(jié)果共有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4種，
其中該同學(xué)拋擲成功的情況有（正，正），（正，反），（反，正）三種
∴學(xué)生甲拋擲成功的概率P=

3

4

（4分）
（II）拋擲成功的人數(shù)不少于失敗的人數(shù)是拋擲成功的人數(shù)少于失敗的人數(shù)共包括如下幾種情況：
六名學(xué)生都失敗，概率為

C

0 6

(

3

4

)0(

1

4

)6
五名學(xué)生失敗，一名學(xué)生成功，概率為

C

1 6

×

3

4

×(

1

4

)5
四名學(xué)生失敗，二名學(xué)生成功，概率為

C

2 6

(

3

4

)2(

1

4

)4
故拋擲成功的人數(shù)不少于失敗的人數(shù)的概率
P=1-(

C

0 6

(

3

4

)0(

1

4

)6+

C

1 6

×

3

4

×(

1

4

)5+

C

2 6

(

3

4

)2(

1

4

)4)=

1971

2048

（8分）
（III）∵每名學(xué)生拋擲成功的概率均相等
且每名學(xué)生拋擲成功的概率均為

3

4

∴Eξ=6×

3

4

=

9

2

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，相互獨(dú)立事件的概率乘法公式及離散型隨機(jī)變量的期望，其中熟練掌握n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式是解答本題的關(guān)鍵．