Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓C：的離心率為，且過點Q(1，）．

   （1) 求橢圓C的方程；

    (2) 若過點M(2，0)的直線與橢圓C相交于A，B兩點，設P點在直線

上，且滿足 (O為坐標原點），求實數t的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

 

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關系的綜合運用。

（1）利用已知的性質離心率得到a,c比例關系，同時要結合過點，得到橢圓的方程。

（2）中利用由已知直線AB的斜率存在，設AB的方程為：

與橢圓方程聯立，結合韋達定理以及向量關系式得到k的關系式，借助于均值不等式求解最值。

解：（1）設橢圓的焦距為，因為離心率為，，

所以                                  --------------2分

設橢圓方程為又點在橢圓上，--------------3分

所以橢圓方程為                              --------------4分

（2）由已知直線AB的斜率存在，設AB的方程為：

由    得

，得：，即  -------6分

設， 

,，顯然時；當時，

，-------8分

因為點在直線上所以

即                       -------9分

因為

（當且僅當時取等號）（因為）  

  -------11分

綜上：                                               -------12分