Question

如圖的多面體是底面為平行四邊形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，經平面AEFG所截后得到的圖形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（1）求證：BD⊥平面ADG．
（2）求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證BD⊥平面ADG，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD⊥平面ADG內兩相交直線垂直，而AD⊥BD，GD⊥BD，
GD∩AD=D，滿足定理條件；
（2）以D為坐標原點，OA為x軸，OB為y軸，OG為z軸建立空間直角坐標系D-xyz，分別求出平面AEFG法向量和平面ABCD的一個法向量，然后求出兩法向量的夾角的余弦值，即可求出平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．
解答：解：（1）證明：在△BAD中，AB=2AD=2，∠BAD=60°，
由余弦定理得，BD=∴AB²=AD²+BD²．
∴AD⊥BD（2分）
又GD⊥平面ABCD
∴GD⊥BD，
GD∩AD=D，
∴BD⊥平面ADG（4分）
（2）以D為坐標原點，OA為x軸，OB為y軸，OG為z軸建立空間直角坐標系D-xyz
則有A（1，0，0），B（0，，0），G（0，0，1），E（0，）（6分）
設平面AEFG法向量為m=（x，y，z）
則，
取（9分）
平面ABCD的一個法向量（10分）
設面ABFG與面ABCD所成銳二面角為θ，

則（12分）
∴平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為．
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及二面角及其度量，二面角在最近高考中有所弱化，值得大家主要．