Question

如圖的多面體是底面為平行四邊形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，經平面AEFG所截后得到的圖形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（1）求證：BD⊥平面ADG．
（2）求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲證BD⊥平面ADG，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD⊥平面ADG內兩相交直線垂直，而AD⊥BD，GD⊥BD，
GD∩AD=D，滿足定理條件；
（2）以D為坐標原點，OA為x軸，OB為y軸，OG為z軸建立空間直角坐標系D-xyz，分別求出平面AEFG法向量和平面ABCD的一個法向量，然后求出兩法向量的夾角的余弦值，即可求出平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

解答：解：（1）證明：在△BAD中，AB=2AD=2，∠BAD=60°，
由余弦定理得，BD=

3

∴AB²=AD²+BD²．
∴AD⊥BD（2分）
又GD⊥平面ABCD
∴GD⊥BD，
GD∩AD=D，
∴BD⊥平面ADG（4分）
（2）以D為坐標原點，OA為x軸，OB為y軸，OG為z軸建立空間直角坐標系D-xyz
則有A（1，0，0），B（0，

3

，0），G（0，0，1），E（0，

3

，2）

AG

=(-1，0，1)，

AE

=(-1，

3

，2)（6分）
設平面AEFG法向量為m=（x，y，z）
則

m• AG =-x+z=0 m• AE =-x+ 3 y+2z=0

，
取m=(1，-

3

3

.1)（9分）
平面ABCD的一個法向量n=

DG

=(0，0，1)（10分）
設面ABFG與面ABCD所成銳二面角為θ，

則cosθ-

|m•n|

|m|•|n|

=

21

7

（12分）
∴平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為

21

7

．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及二面角及其度量，二面角在最近高考中有所弱化，值得大家主要．