Question

【題目】如圖，已知AB是半徑為2的半球O的直徑，P，D為球面上的兩點且∠DAB=∠PAB=60°， ．
（1）求證：平面PAB⊥平面DAB；
（2）求二面角B﹣AP﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△PAB中，過P作PH⊥AB于點H，連HD．

由Rt△APB≌Rt△ADB可知DH⊥AB，且 ，

又 PH2+HD2=3+3=6=PD2，∴PH⊥HD．

又AB∩HD=H，∴PH⊥平面ABD，又PH平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABD．

（2）解：由（1）可知HB，HD，HP兩兩垂直，

故以H為原點，HB，HD，HP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標系，可知 ．

設平面APD的法向量為 =（x，y，z），

則 ，即 ，

∴ ，

令 ，則得y=z=1，∴ ，

又平面APB的法向量 =（0，1，0），

∴cos = = = ，

而二面角B﹣AP﹣D與m，n的夾角相等，

因此所求的二面角B﹣AP﹣D的余弦值為 ．

【解析】（1）在△PAB中，過P作PH⊥AB于點H，連HD．證明DH⊥AB，PH⊥HD．推出PH⊥平面ABD，然后證明平面PAB⊥平面ABD．（2）由（1）可知HB，HD，HP兩兩垂直，故以H為原點，HB，HD，HP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，求出相關點的坐標求出平面APD的法向量，平面APB的法向量，利用空間向量的數量積求解二面角B﹣AP﹣D的余弦值即可．
【考點精析】通過靈活運用平面與平面垂直的判定，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直即可以解答此題．